铁电材料的特性与应用，铁电材料一般可以分成以下几类

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简介市场场理论以统计物理学的平均场理论和Landau-Gintzbag相变理论为基础，通过扩散方程、化学势和热力学驱动力来描述系统中的扩散、浓度变化和微观变化。近年来，相场模拟方法被广泛应用于研究陶瓷材料中的晶粒长大、金属中的马氏体相变以及铁电和铁磁材料中的畴结构，极大地推动了材料科学的发展。要进行相场模拟，首先必须知道系统的自由能表示形式和自由能参数，并对方程进行离散化以进行数值求解。本文内容主要描述铁电系统自由能方程的形式，以及模拟铁电材料电域时方程的离散化。

同时给出了铁电材料相场模拟中边界条件和参数的无量纲处理方法，并利用两种方法研究了弹性能和梯度能对材料稳态电场结构的影响。维相场模拟。

铁电材料的自由能铁电材料是由多个物理场相结合的复杂系统，当铁电材料发生相变时，会产生内应变和内应力，铁电材料内部会发生各个方向的极化，从而产生电畴。电场假设是理想的铁电材料，这意味着系统中不存在杂质缺陷、氧空位、裂纹或其他因素。

在没有外力的情况下，铁电体的总自由能F可以表示为Landau-Devenhill自由能FL、应变能Fela、内电场能Fe和极化梯度能Fg之和。换句话说，F=FL + Fellatio + Fe + Fg。

其中，Landau-Devenhill自由能FL来自相变产生的自发极化场，Fela是自发应变产生的弹性能，梯度能Fg是极化场空间分布不均匀引起的。

静电能Fe 源自铁电材料中形成的内置电场和去极化场。铁电体形成不同方向的各种电场结构，降低了系统的总自由能。稳态电场结构是自由能。 最小偏振态。 Landau-Devenhill 自由能是自发极化P(P1, P2, P3) 的多项式展开式。 P(P1, P2, P3) 用作铁电相变的有序参数。在高温顺电相中，会发生自发极化。当温度降至居里温度以下时，材料的晶格对称性被破坏，发生自发极化。根据顺电相钙钛矿铁电体立方相的对称性，朗道自由能密度可展开为：

式中的1、11、111、12、112、123为Landau系数，Landau-Devenhill自由能反映了铁电体处于均匀单畴状态时体系的自由能，代表铁电材料的性质。 BaTiO3单晶的独特性能和朗道系数如下表所示。

BaTiO3 晶体的温度诱导相变特性可以使用表中的参数进行计算。这里，我们设置P1=P2=P=、P3=P#，以及由于极化而产生的自由能分布（P=、P=、P#）。 ）可以计算。

最低自由能自发极化对应于晶体的稳态相结构。 400K时，自由能最小出现在(0,0,0)处，自发极化为零，BaTiO3处于顺电相。随着温度降低，在300K温度时自由能最小，为(0, 0, 0.26C/m2)，晶体的稳定相结构变为铁电T相。为了稳定相结构，进一步降低温度，在150K时晶体变成铁电R相结构。由于温度引起的自发极化强度的变化也可以使用朗道自由能来计算。下图为BaTiO3单晶自发极化强度随温度的变化。可以看出，当居里温度为393K时，晶体从393K转变为393K。朝向T相，居里温度下自发极化强度的不连续变化表明BaTiO3晶体的铁电相转变为一级相变。

随着温度降低，自发极化强度逐渐增大，BaTiO3晶体经历从T相到O相再到R相的相变过程，朗道自由能扩展到第六阶项。它可以准确地反映铁电体固有的相变行为以及随温度引起的自发极化的变化，是目前解释铁电体相变现象最有效的理论。为了解释单斜晶相的形成机制，David Vanderbilt 及其同事提出将朗道自由能表达式扩展到自发极化的八阶多项式展开式。尽管该模型可以解释单斜相的形成，但它仍然无法解释一些实验观察结果。

弹性能关于马氏体相变和铁电相变产生的应变弹性能，哈恰图良首先提出了计算弹性能的通用微弹性理论，根据该理论，应变弹性能密度可以分为四个步骤计算：在图中。

如果晶格团簇与母相的晶体结构分离，则晶格团簇和母相的总能量不发生变化，组成团簇可以在没有外场作用的情况下自由地发生相变。相变后，团簇晶格发生变形并产生自发应变0ij。对于钙钛矿铁电材料，自发应变张量0ij与有序参数P(P1,P2,P3)之间的关系为：

Qij 是材料的电致伸缩系数。收缩应力作用于变形的晶格簇，使它们恢复到相变前的形状并返回到先前主体晶体中的孔。当所施加的外部收缩应力去除时，这部分晶格簇松弛，并且母晶阻止这部分晶格簇的松弛。达到稳定状态后，这部分晶格簇的最终应变将为ij。通过这个过程，我们发现这部分团簇的弹性应变是实际应变ij与自然应变之差。弹性应变和应力为：

如果铁电体是均质单畴结构，ij=0ij，则电畴的弹性相互作用能为零。

由于钙钛矿铁电体的顺电相是立方体，只有三个弹性常数C11、C12和C44，以及三个机电耦合常数Q11、Q12和Q44，因此应变的弹性能量密度可以展开为这：

因此，局部弹性应力ij 由下式给出：

根据弹性平衡条件，系统必须平衡局部区域内的力，即满足以下条件：

铁电体是包含多个磁域的复杂系统，总应变张量ij 和位移u(r) 满足以下关系：

求解铁电或周期性铁电系统时，可以对0ij(r) 和位移u(r) 执行傅里叶变换，以求解系统中的应力和应变分布。

通过对uj(k)进行傅里叶逆变换，可以获得实空间中的位移场分布、系统的应变分布和应力分布，最终得到系统的总弹性能。该系统由下式给出：

梯度能量在正常情况下，由于铁电材料中存在多畴结构，自发极化场的三个分量P1(r)、P2(r) 和P3(r) 在空间上分布。梯度能量发生在空间中。根据钙钛矿铁电体母相立方相的对称性，自发极化的梯度能量密度可表示为：

立方相的对称性表明梯度能量系数为G11=G1111、G12=G1122、G44=G1212。请注意，梯度能量有许多等效表达式。文献如下。

其中G12=G14-C44，xj为空间坐标Pi，j=Pi/xj.通常，铁电材料中的梯度能量是各向异性的，影响不同方向的电畴和畴壁。重大影响。然而，如果所研究的电域性质不受梯度能量各向异性的显着影响，相场模拟计算通常假设梯度能量是各向同性的，然后考虑梯度能量系数。 G14=0，G11=G44，因此假设梯度能量各向同性，则梯度能量密度可以写为：

静电能在没有外部电场的情况下，铁电材料中的静电能由材料中内置的电场产生。总静电能量可表示为：

其中，0为真空介电常数，Ed为内部电场，根据静电场理论，Ed=（为内部电势）。如果系统中不存在电荷缺陷或自由电荷，根据高斯定理，·D=0（D=k0Ed+P为电位移矢量），代入势能，可得：

在周期性条件下，可以通过傅里叶变换来求解，其中电势 和三个偏振分量Pi 分别进行傅里叶变换。

铁电材料自发极化分布随时间的变化可以通过求解与时间相关的朗道-金兹堡方程来求解。

其中r为空间坐标，t为时间，L为动力系数，F为总自由能，fi(r,t)为驱动力，xi(r,t)为小随机波动。离居里温度还很远。此时，这个随机脉动场远小于电域的自发极化场，因此在计算中可以忽略不计。随时间变化的朗道-金兹堡方程使电场分布朝系统总自由能最小化的方向演化。由于该方程无法解析求解，因此通常使用计算机编程对其进行离散化和数值求解。这将导致模拟。钙钛矿铁电材料的电畴结构。

一般情况下，随时间变化的Landau-Ginzburg方程可以采用有限元法或有限差分法进行离散化，但本文主要采用有限差分法来模拟电区结构。此外，在数值求解方程时，需要确定方程中的边界条件。

相场仿真中方程的离散化本文中的电域结构仿真计算采用有限差分法对瞬态Landau-Ginzburg方程进行离散化，首先建立一个NNN的空间网格来进行。如下图2-4所示，网格为h，时间步长为，每个网格点的极化为P(i,j,k)。

如果我们使用一阶欧拉方法离散化表达式，则n+1 次迭代表达式变为：

为了使计算迭代的结果收敛，时间步长必须受到空间步长的限制，并且必须满足条件p。考虑到电域仿真中的空间步长通常远小于电域尺寸，h 必须在纳米尺度上，这直接限制了计算的时间步长，减少了仿真计算时的迭代次数。计算时间增加。为了提高程序执行效率、缩短仿真时间，采用半隐式傅里叶方法在倒易空间中离散求解Landau-Ginzburg方程，最后通过傅里叶逆变换求解是一种行之有效的方法。自发极化场在真实空间的分布，因此我们将方程改写为：

利用半隐式傅里叶变换方法得到的迭代方程允许时间步长增加约5倍，有效减少了相场仿真时间。模拟铁电材料时，通常会忽略材料的表面和尺寸效应。周期性边界条件用于相场模拟。假设模拟网格是MNL的三维网格。 i=1, j=1 k=1 三个界面上自发极化的空间二阶偏微分中心差离散化为：

类似地，i=M、j=N、k=L 三个界面上自发极化的空间二阶偏导数的中心差离散化为：

为了方便相场模拟计算，模拟参数通常是无量纲的，如下：坐标、时间和偏振是无量纲的，如下所示。

电区结构的二维相场模拟在模拟大型铁电材料时，三维相场模拟的计算需要非常长的计算时间，但为了提高计算效率，我们开发了一个研究课题。简化为二维。相场模拟。在二维相场模拟中，与三维空间中的电域方向相比，电域的方向减小。利用BaTiO3晶体的朗道模量、弹性模量、电致伸缩系数和梯度能量系数，可以模拟BaTiO3的电区结构，并讨论弹性能和梯度能对电区结构的影响。

利用BaTiO3的参数建立128128的二维网格，离散化网格的空间步长h=1.2nm，等效时间间隔为0.005，采用周期性边界。 (P1,P2)0 小随机波动。在相场模拟中，随着计算迭代步数的增加，自发极化从最初的小波动逐渐发展，形成不同方向的电域结构，如下图所示。模拟1000个时间步后，系统开始形成T相和O相的微区结构。

随着迭代次数增加到5000个时间步，系统的电域结构逐渐增大，并且随着迭代次数的进一步增加，O相电域逐渐松弛为T相电域，梯度能量增大。在没有外力的情况下，考虑弹性能中的平均应变意味着铁电体的电畴可以在各个方向上自由膨胀和收缩，并且当达到稳态时系统形成单畴结构。然而，在实际情况中，铁电体的局部电区域受到周围电区域的约束，不能自由拉伸或变形。因此，在模拟无限铁电场结构时，这部分平均应变对弹性能的贡献可以忽略不计（即ij 0）。 90电域结构。

铁电体的电畴尺寸受梯度能量系数影响，为了研究梯度能量系数对电畴尺寸的影响，这里不考虑梯度能量的各向异性，梯度能量系数G11=G44 , G14=0。利用BaTiO3的参数，我们模拟了梯度能量系数G11=1710-11N·m4/C2和G11=5110-11N·m4/C2的电区结构，如下图所示。

当梯度能量系数G11=1710-11N·m4/C2时，稳态时的泡孔结构比G11=5110-11N·m4/C2时的泡孔结构复杂，且泡孔尺寸较小，但他们有很多。这意味着当能量梯度系数较小时，铁电材料形成的电畴尺寸较小，反之，当能量梯度系数较大时，铁电材料形成的电畴尺寸也较大。

作者观点作者认为，本研究不仅为提高铁电材料的性能、拓展材料的实际应用提供了理论依据和指导，而且为设计新型铁电材料和提供器件提供了思路。优化性能。该应用具有重要意义，有助于改善铁电材料的器件应用。未来，我们将通过材料计算和材料数据库的共享和协作，加速新材料的研发，缩短从材料开发到商业化的周期，拓展铁电功能材料的应用领域，扩大铁电材料的用途。将有可能促进功能材料的发展。制造业和经济。

参考

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[2]王子强，刘峰，铁电体的非线性本构行为，中国力学学会学术会议，2005。

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